14 décembre 2008

L'impôt doit-il être progressif ?


Dans la quasi-totalité des pays développés, l'impôt sur le revenu est progressif c'est-à-dire que la proportion d'argent prélevée par l'Etat augmente avec les revenus des individus. Pour obtenir ce résultat, plusieurs méthodes sont possibles, le plus courant consistant à recourir à des taux d'imposition marginaux qui augmentent par tranche. Dans le cas de la France en 2008, les revenus (annuels, divisés par le quotient familial) compris jusqu'à 5687€ ne sont pas imposables, ensuite jusqu'à 11344€ les revenus sont taxés à 5,5%, ceux compris entre 11344€ et 25195€ à 14%, ceux compris entre 25195€ et 67546€ à 30% et au-delà les revenus sont taxés à 40%. A noter qu'à partir du moment où l'on fixe un seuil au-dessous duquel les revenus ne sont pas imposables, un taux d'imposition unique (comme la flat tax) est tout de même progressif, pour s'en convaincre, notons t le taux d'imposition marginal unique, S le seuil à partir duquel on paye des impôts et R le revenu. La part des revenus prélevée par l'Etat vaut : t(R-S)/R, qui est bien une fonction croissante du revenu.

Remarquons dès à présent que seuls l'IRPP (impôt sur les revenus des personnes physiques) et l'impôt sur les successions sont progressifs et qu'ils représentent une part de plus en plus faible des rentrées fiscales. La TVA ou la TIPP (taxe intérieure sur les produits pétroliers), qui représentent 56% des rentrées fiscales de l'Etat français ne tiennent absolument pas compte des revenus des contribuables. Et même si certains produits de luxe sont davantage taxés que des produits de première nécessité, cet effet "progressif" est gommé par le fait que la consommation représente une part plus importante des revenus des ménages les plus modestes. Au total, si l'on considère l'ensemble des impôts et des taxes qui servent à alimenter le budget de l'Etat, rien ne dit que la progressivité soit encore respectée, surtout si l'on tient compte des multiples niches fiscales.

Vient alors la question de fond : pourquoi l'impôt devrait-il être progressif ? L'impôt se caractérise essentiellement par deux aspects : son montant global, censé équilibrer les dépenses de l'Etat, et la manière dont il est réparti entre les contribuables. Nous ne nous intéresserons ici qu'au deuxième aspect, en considérant que le montant total des impôts est une variable exogène. Il s'agit donc essentiellement d'un problème de répartition des efforts et donc de justice sociale. La première idée, la plus simple, serait de diviser l'impôt de manière égale entre chaque citoyen, chacun contribuant ainsi à la même hauteur au budget de l'Etat. On sent bien que cette répartition n'est pas juste, et pour cause, un euro prélevé sur un haut revenu représente un effort beaucoup plus faible que s'il est prélevé sur un bas revenu. Raisonner en termes "absolus" n'a pas de sens, il faut réfléchir en termes "relatifs". L'effort d'un contribuable ne se mesure pas à la somme qu'il a à débourser pour l'Etat mais à la fraction de son revenu qu'il doit payer en impôt. Ainsi, une manière de rendre plus juste le système fiscal est de demander à chaque contribuable de donner une même proportion de ses revenus à l'Etat : il s'agit d'un système proportionnel.

Pour arriver à l'idée de progressivité, il faut ajouter un autre élément : la décroissance de l'utilité marginale d'un euro supplémentaire avec le revenu. En clair, cela signifie que donner un euro à un riche lui procurera moins de plaisir que si on le donne à un pauvre. A cet effet, les économistes ont introduit la nation de fonction d'utilité des individus (que l'on suppose ici identique pour tous les individus, toujours dans une optique de justice sociale), qui définit l'utilité procurée par chaque niveau de richesse, on notera U(R) l'utilité associée à une richesse (ou un revenu) R. La décroissance de l'utilité marginale se traduit en termes mathématiques par le fait que la fonction U(R) est supposée concave. Cette question ne va pas du tout de soi, comme le montre un papier très intéressant de Milton Friedman expliquant que cette concavité expliquait de manière satisfaisante les comportements assurantiels (je préfère avoir un revenu certain plus faible que l'espérance des revenus d'une opération risquée) mais absolument pas le succès des jeux de hasard. En d'autres termes, une fonction d'utilité concave est caractéristique d'une aversion pour le risque tandis qu'une fonction d'utilité convexe définit un goût pour le risque de l'individu. La réponse de Milton Friedman est que la fonction d'utilité doit être concave, puis convexe et redevenir concave (cf. "The utility analysis of choices involving risks"). Cette hypothèse n'est pas réellement convaincante car on imagine mal comment certaine personnes pourraient se trouver dans la partie convexe de cette courbe, c'est-à-dire qu'elle serait prête à jouer à tous les jeux risqués mais refuserait tout mécanisme d'assurance. Pour simplifier les choses, considérons, comme cela est couramment admis, que la fonction d'utilité des individus est une fonction croissante et concave de la richesse.

Ayant introduit cette fonction d'utilité, le problème de justice sociale doit s'énoncer de manière différente : il ne s'agit plus de demander à chaque citoyen de se priver d'une même proportion de son revenu, mais de se priver d'une même proportion de son utilité. Pour le dire autrement, la perte relative d'utilité due aux impôts doit être la même pour tous les individus. Si l'on combine cette exigence avec la concavité de la fonction d'utilité, on aboutit alors à l'idée qu'il faut taxer les individus de manière progressive et pas seulement proportionnelle. Du moins, c'est ce que je croyais avant d'entreprendre rapidement de faire les calculs sur un coin de table, et je me suis rendu compte que les choses n'étaient pas si simples. Pour le comprendre, il faut poser quelques notations...

Soit R le revenu d'un individu, t(R) le taux d'imposition retenu pour un revenu R, U(R), l'utilité procurée par la richesse R et A la perte relative d'utilité de chaque individu (paramètre qui est fixé de telle manière que l'Etat puisse couvrir ses dépenses). On doit avoir, pour tout revenu R la relation suivante : [U(R)-U(R-t(R)R)]/U(R)=A. Quelques petits tours de passe-passe mathématiques plus loin, on obtient : t(R)=1-V((1-A)U(R))/R, où V est la fonction réciproque de U, c'est-à-dire telle que V(U(R))=R pour tout R. Pour comprendre un peu ce qui se passe, on peut appliquer cette formule avec un exemple particulier de fonction concave : la fonction logarithme. On a donc U(R)=log(R) et V(x)=exp(x). Dans ce cas, on a : t(R)=1-1/R^A (où ^ signifie puissance), le taux d'imposition est donc bien une fonction croissante du revenu, qui vaut même 1 quand le revenu est infini, c'est-à-dire qu'on finit par tout prendre aux gens très très riche. La progressivité de l'impôt s'en trouve donc légitimée.

Mais prenons un autre exemple de fonction d'utilité, U(R)=RACINE(R) ou R^1/2. Dans ce cas, des calculs rapides montrent qu'on a : t(R)=1-RACINE(1-B), c'est-à-dire que le taux d'imposition est constant, on retombe donc sur le cas proportionnel. Allons même un peu plus loin en choisissant une fonction d'utilité non-plus concave, mais convexe, U(R)=R^2 par exemple, et on constate avec surprise que le résultat est également le même : t(R)=1-B^2, c'est-à-dire que le taux d'imposition doit lui aussi être constant. Ce n'est donc pas la concavité de la fonction d'utilité qui permet de justifier la progressivité de l'impôt.

Si la fonction RACINE implique une imposition proportionnelle, on est en droit de se demander si d'autres types de fonction d'utilité (toujours concave et croissante) ne pourraient pas justifier que le taux d'imposition ne décroisse avec la richesse des individus, c'est-à-dire à un impôt non pas progressif mais dégressif. Je lance donc un grand jeu, pour la première fois dans l'histoire de ce blog, sachant que bon nombre des lecteurs sont des mathématiciens aguerris, cela ne devrait pas poser trop de problème. Si l'un d'entre vous parvient à mettre en exergue une fonction d'utilité (concave, croissante) qui justifie une dégressivité de l'impôt au moins pour CERTAINS revenus, je lui offre une bouteille de champagne. Si vous parvenez à exhiber une fonction d'utilité qui justifie une dégressivité de l'impôt pour tous les revenus (c'est-à-dire qui entraîne une fonction t(R) constamment décroissante), j'offre deux bouteilles de champagne. Enfin, si vous parvenez à démontrer que la relation [U(R)-U(R-t(R)R)]/U(R)=A couplée à la concavité de U entraîne nécessairement que l'impôt soit au moins proportionnel, je vous offre une bouteille de Champagne et une bouteille de Calvados véritable, distillé chez moi en Normandie avec les pommes de mon jardin. Ce concours a bien entendu une date limite qui est le 25 décembre 2008 et il peut être interrompu prématurément si je trouve la solution le premier.

A vos crayons !

9 commentaires:

xavier a dit…

(je deviens un lecteur assidu de ce blog...)

Une question (non pas au sujet de l'énigme mathématique, sur laquelle je planche assidûment, mais sur le sujet lui -même): quelle est la définition "exacte" de la fonction d'utilité?

En effet, qu'est-ce qui justifie, en demandant aux citoyens de faire un effort identique, de vouloir leur prélever un fraction de leurs revenus correspondant à une part RELATIVE de l'utilité qu'ils en retirent? Il me semble que l'utilité mesure le "bonheur" des gens; à ce titre, demander aux citoyens de faire un geste égal revient à leur demander de soustraire la même quantité de "bonheur" de leur grenier à bonheur. Le "bonheur" est une grandeur absolue dans le modèle de la fonction d'utilité. Il n'y a pas de "bonheur marginal", tous les effets de marginalité par rapport au revenu sont déjà inclus dans la concavité de la fonction d'utilité non?

Pour m'exprimer plus clairement, si on considère que revenu R = quantité de biens (qui vont des produits de premières nécessité au vols en première classe), ce qu'on veut en prélevant un certain pouvoir d'achat aux citoyens, c'est que chacun en souffre de la même manière. Comme tu le dis, un euro (ou une "unité de bien") n'a pas la même valeur pour un citoyen fortuné et pour un citoyen démuni; alors la concavité de la fonction d'utilité est sensée modéliser mathématiquement cette constatation de bon sens. L'utilité est donc une grandeur absolue, qui doit inclure tout effet de dégressivité maginale par rapport aux variables matérielles (revenus, biens de consommation). Exiger une taxe qui prélève un taux constant d'utilité, c'est taper deux fois sur les riches: une fois pour compenser le fait qu'ils n'accordent pas le même prix à un euro qu'un pauvre le ferait; et une autre fois pour les punir d'être trop heureux avec les revenus qu'ils leur restent!

Peut-être ai-je mal compris le concept même d'utilité. Pourrais-tu me le rappeler en ce cas?

VLR a dit…

Salut Xavier,

Effectivement, le problème que tu soulèves m'a également pas mal interpelé. Je pense qu'il faut dissocier les questions de "bonheur" et celle d'"effort". Le bonheur, à part pour les riches, me semble être une fonction assez proportionnelle au revenu. En revanche, l'effort est une notion essentiellement relative.

Sur le plan fondamental, en microéconomie, les fonctions d'utilité sont définies à une transformation croissante près (elles ont un fonction ordinale et pas cardinale) et elles prennent pour argument un vecteur de consommation. Le passage a une fonction d'utilité de Van Neumann Morgenstern (c'est-à-dire une fonction qui n'a plus qu'une variable : le revenu, celle que j'utilise dans cet article) est beaucoup plus problématique et ne va pas de soi. Friedman la défend, je suis beaucoup plus réservé. Cette fonction d'utilité de VNM n'est plus définie à une transformation constante près (on ne peut pas "déformer" la fonction par une fonction x^2 par exemple).

Si on considère des individus neutres au risque, leur fonction d'utilité de VNM devrait être l'identité (y=x). Dans ce cas il est bien évident que deux efforts équivalents pour deux contribuables aux revenus différents sont des réductions de leur utilité d'une même PROPORTION. Le problème de la concavité de la fonction de VNM est lié à l'aversion pour le risque des agents, c'est donc une problème disjoint.

D'une manière générale, je ne crois pas aux valeurs absolues en économie (richesse, monnaie,...) et je crois que toutes les vraies grandeurs sont relatives (puissance, taux de change,...).

Voilà, c'est pas très clair et assez décousu, mais il est 2h56 pour moi !!!

Valentin a dit…

Salut Vincent,
un exemple ou le taux est croissant au moins pour certaines valeurs: de 0 a 1 tu prend U(R)=racine(R) et de 1 a 3 tu prends U avec une pente plus petite que 1/2(la pente de la premiere partie en 1),qui passe sous racine(2) en 2, concave mais qui atteind racine(3) en 3 (Un cas extreme est lineaire avec pente (racine(3)-racine(1))/(3-1) mais tu vas me dire que c est pas vraiment concave, donc tu peux rendre ca un petit peu concave). Maintenant tu compares le taux d imposition en 3 pour un ratio d utilites 1-A=racine(2)/racine(3) pour la racine et la nouvelle fonction et c est clair que ca la nouvelle fonction et tu vois que la nouvelle fonction a un taux d imposition plus bas. Alors si tu regardes juste la nouvelle fonction, pour les bas revenus elle a le meme t que la racine et pour certains hauts revenus elle a un plus bas t. Mais la racine avait un t constant donc tu en deduis que c est decroissant au moins pour certaines valeurs.(avec des dessins tout ca deviens plus clair)

xavier a dit…

Mmmm... Sans parler d'aversion au risque (j'avoue que ça date un peu pour moi, la microéconomie), il me semble que le but de l'utilité est précisément de retranscrire des "sensations" relatives des agents économiques en grandeurs absolues. Si j'ai bien compris, la forme concave de la fonction d'utilité, qui montre que la valeur d'un euro pour un pauvre est supérieure à la valeur d'un euro pour un riche, indique que l'agent économique est "averse au risque" (j'aime beaucoup cette expression, je la trouve très rigolote!): il sait que pour lui, ne pas gagner un euro, c'est moins grave que de perdre un euro.

S'il l'individu est absolument neutre au risque, c'est-à-dire qu'il accorde la même valeur à un euro gagné et un euro perdu, cela veut dire concrètement qu'il n'a pas besoin de produits de première nécessité, que tous les produits de consommation se valent, et que le surplus de bonheur fourni par un euro a la même valeur qu'il soit riche ou pauvre. Pour lui, lui retirer un euro par les taxes, qu'il soit riche ou pauvre, va lui faire mal de la même façon, (il ne pourra pas acheter, mettons, un voyage aux Maldives, qui lui aurait fait autant plaisir avec un revenu de 1500 €/mois et qu'avec revenu de 100000 €/mois), n'est-ce pas? Alors je ne suis pas d'accord pour dire que "deux efforts équivalents pour deux contribuables aux revenus différents sont des réductions de leur utilité d'une même PROPORTION". Pour l'individu neutre au risque, on l'empêche de partir aux Maldives, il y serait allé riche ou pauvre, et ça l'ennuie de la même façon de ne pas pouvoir y aller.

L'utilité, me semble-t-il, est précisément là pour prendre en compte la relativité d'un voyage aux Maldives. Par exemple, pour moi en ce moment je lui accorderai une très très grande valeur! Ce voyage me serait précieux car je ne pourrai en faire beaucoup, ayant à arbitrer en les différentes dépenses de la vie courante (on y retrouve la concavité de la fonction d'utilité: un voyage aux Maldives qu'on m'enlève, ça m'ennuie beaucoup plus qu'un voyage aux Maldives supplémentaire auquel je ne peux aller - je suis averse au risque: pas question qu'on me sucre mon voyage aux Maldives). Monsieur Pinault par contre, n'aura probablement pas le même désarroi si on lui prélève la somme l'empêchant de partir dans l'Océan Indien; par contre, lui prendre la somme qui lui permettrait de s'acheter le dernier "chef-d'oeuvre" de Jeff Koons, voilà qui devrait l'ennuyer autant que moi (un Jeff Koons en moins, c'est beaucoup moins bien qu'un hypothéthique Jeff Koons en plus que finalement il n'a pas - Monsieur Pinault est averse au risque lui aussi, il tient à ses Jeff Koons). C'est le même delta d'utilité en ce cas, juste pas la même somme en jeu. Tu es d'accord?

Et couche-toi plus tôt que ça!

Flocon a dit…

U(R)=sqrt(R+1) ?

Flocon a dit…

U(R)=sqrt(R+1)

VLR a dit…

Bon, bah cette histoire va me coûter cher finalement puisque ce sont trois bouteilles de champagne qui ont été gagnées.

Tout d'abord Valentin a effectivement trouvé une fonction qui entraîne une décroissance du taux d'imposition au moins autour de certaines fortunes entre 1 et 3. Il gagne donc une bouteille de Champagne.

Florent, quand à lui est en passe de me ridiculiser en exhibant une fonction, somme toute, assez simple qui marche complètement, c'est-à-dire que quelque soient les besoin de l'Etat, si sa fonction d'utilité est retenue, alors l'impôt doit être totalement dégressif !

En une ligne et moins de 15 caractères, Florent vient donc de mettre à mal toute la fiscalité sur le revenu. Pourvu que ce résultat ne tombe dans les mains du MEDEF, à moins que Florent n'en soit l'éminence grise ?

Je vais contacter les deux gagnants pour définir avec eux les modalités d'envoi des bouteilles de Champagne (pour l'un des deux ce sera relativement facile).

Revenons au problème de base et à la question de Xavier. J'ai envie de lui répondre que même si "ne valeur absolue", enlever 1 unité d'utilité à un riche c'est la même chose que de le faire à un pauvre, l'Etat est parfaitement légitime à dire que des efforts égaux correspondent pour lui à des pertes d'utilité dans les mêmes proportions chez tous les individus.

Ce que montre mon article complété par les réponses de Valentin et de Florent, c'est qu'un tel choix de "justice sociale", couplé à la concavité de la fonction d'utilité ne suffit pas à justifier la progressivité de l'impôt. D'où ma question qui s'adresse également à tous les lecteurs de ce blog : que faut-il ajouter pour justifier que l'impôt soit progressif ? J'ajoute au passage que je suis un fervent partisan de la progressivité.

xavier a dit…

J'en rajoute encore une couche: oui mais... j'ai l'impression que le nœud du problème est la définition de la fonction d'utilité.

Si celle-ci est définie comme - avec tout ce que cela comporte de subjectivité - une mesure ABSOLUE du bonheur en fonction du revenu, alors non, l'Etat ne peut pas ponctionner plus de bonheur aux riches qu'aux pauvres (ou alors c'est qu'il considère que le bonheur des riches lui est moins important que celui des pauvres, ce qui se tient électoralement parlant). Sinon on doit considérer que la fonction d'utilité défini en fait un "bonheur marginal", c'est-à -dire qu'un peu moins de bonheur pour un riche est moins grave qu'un peu moins de bonheur pour un pauvre, mais alors je rétorquerai qu'autant créer une fonction d'utilité absolue pour mesurer réellement (oui oui je sais, c'est très subjectif) le bonheur des gens, de telle sorte que delta(bonheur) pour un riche correspond au même niveau d'effort pour un riche et un pauvre. Et là ça resterai cohérent avec la théorie microéconomique, concavité et tutti quanti.

Et pour la justification de la progressivité de l'impôt, on peut la faire en affirmant que la forme de la fonction d'utilité effective du citoyen français doit plus ressembler à un log(R) qu'à une SQRT(R+1).

Allez je m'arrête, après tout je ne sais pas vraiment de quoi je parle. A la prochaine!

Nicolas a dit…

Sans rentrer dans des débats plus techniques, ce qui me surprend avec l'impôt progressif, c'est quand considère toujours l'utilité marginale de l'argent prélevé pour celui qui a été prélevé (entrée) et on ne parle jamais de l'utilité de l'argent public et comme elle varie en fonction du revenu (sortie).
J'ai l'impression que l'argent public profite surtout aux populations les moins aisées, que son utilité pour ces populations est bien plus importante.
Si l'on admet que la perte d'utilité marginale du au prélèvement decroît moins vite que le gain tiré de l'argent public, il me semble qu'une taxation progressive est contestable. Ou alors il faut considérer un autre bien, la cohésion sociale, comme un bien supérieur (les riches y attachent plus d'importance relativement) et qu'on incorporerait dans l'utilité (la réduction des inégalités confère une utilité plus grande aux riches - je n'en suis pas sûr).